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La mwcasfera (mwcqdal greco antico σφαῖρα?, sphaîra) è il solido mwcggeometrico costituito da tutti i punti che sono a distanza minore o uguale a una distanza fissata mwcw r {\displaystyle r} , detta mwdaraggio della sfera, da un punto mwdq O {\displaystyle O} detto mwdgcentro della sfera.

L'insieme dei punti la cui distanza è eguale a mwea r {\displaystyle r} è detto mweqsuperficie sferica di centro mweg O {\displaystyle O} e raggio mwew r {\displaystyle r} . È detta "semisfera" ciascuna delle metà di un solido sferico diviso in due da un piano passante per il centro o anche ciascuna delle due superfici di una sfera divisa da una sua circonferenza massima.

• Rappresentazione analitica

• Superficie

• Dimostrazione analitica in coordinate cartesiane

• Dimostrazione analitica in coordinate polari

• Volume

• Dimostrazione analitica

• Dimostrazione tramite infinitesimi

• Altre proprietà

• Terminologia

• Generalizzazioni ad altre dimensioni

• Generalizzazioni in spazi metrici

• Formule

• Ingegneria

• Filosofia

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

In mwfwgeometria cartesiana, una superficie sferica con centro mwga ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} e di raggio mwgq r {\displaystyle r} è rappresentata dall'insieme di punti mwgg ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} tali che

mwhq ( x − − x 0 ) 2 + ( y − − y 0 ) 2 + ( z − − z 0 ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.}

I punti della superficie sferica possono essere parametrizzati in mwiwcoordinate sferiche nel modo seguente

mwjg { x = x 0 + r sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ cos ⁡ ⁡ φ φ y = y 0 + r sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ sin ⁡ ⁡ φ φ z = z 0 + r cos ⁡ ⁡ ϑ ϑ {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \vartheta \cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \vartheta \sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \vartheta \end{aligned}}\right.}

dove mwka ϑ ϑ {\displaystyle \vartheta } e mwkq φ φ {\displaystyle \varphi } rappresentano la mwkglatitudine e la mwkwlongitudine del punto, variando negli intervalli

mwlg 0 ≤ ≤ ϑ ϑ ≤ ≤ π π , − − π π ≤ ≤ φ φ < π π . {\displaystyle 0\leq \vartheta \leq \pi ,\quad -\pi \leq \varphi <\pi .}

Ogni punto della superficie sferica è descritto da una sola coppia mwma ( ϑ ϑ , φ φ ) {\displaystyle (\vartheta ,\varphi )} di questo tipo, tranne i poli: la coppia mwmq ( 0 , φ φ ) {\displaystyle (0,\varphi )} descrive sempre il polo nord, e mwmg ( π π , φ φ ) {\displaystyle (\pi ,\varphi )} sempre il polo sud (per qualsiasi valore di mwmw φ φ {\displaystyle \varphi } ).

Alternativamente si può utilizzare l'equazione cartesiana della superficie sferica:

mwnw x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+ax+by+cz+d=0}

con mwoq a {\displaystyle a} , mwog b {\displaystyle b} , mwow c {\displaystyle c} , mwpa d {\displaystyle d} , mwpqnumeri reali tali che mwpg a 2 + b 2 + c 2 − − 4 d > 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}-4d>0} . Dall'equazione cartesiana si possono ricavare le coordinate del centro:

mwqq C ( − − a 2 ; − − b 2 ; − − c 2 ) . {\displaystyle C\left(-{\dfrac {a}{2}};-{\dfrac {b}{2}};-{\dfrac {c}{2}}\right).}

L'mwraarea della superficie di una sfera di raggio mwrq R {\displaystyle R} è data dall'equazione:

mwsa A = 4 π π R 2 . {\displaystyle A=4\pi R^{2}.}

La sfera può essere pensata come un mwswsolido di rotazione ottenuto ruotando attorno all'asse mwta x {\displaystyle x} il grafico della funzione

mwtw f ( x ) = R 2 − − x 2 , {\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},}

che rappresenta una semicirconferenza di raggio mwuq R {\displaystyle R} . Pertanto, per il mwugprimo teorema di Guldino, la superficie laterale è data da:

mwvq A = 2 π π ∫ ∫ − − R + R f ( x ) 1 + [ f ′ ( x ) ] 2 d x = 2 π π ∫ ∫ − − R + R R 2 − − x 2 R R 2 − − x 2 d x = 2 π π ∫ ∫ − − R + R R d x = 2 π π R ( R + R ) = 4 π π R 2 . {\displaystyle A=2\pi \int _{-R}^{+R}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{-R}^{+R}R\,dx=2\pi R(R+R)=4\pi R^{2}.}

La superficie totale della sfera si può ottenere, per il mwwaprimo teorema di Guldino, tramite il seguente integrale:

mwww A = 2 π π ∫ ∫ 0 π π R 2 sin ⁡ ⁡ ϑ ϑ d ϑ ϑ = 2 π π R 2 ( − − cos ⁡ ⁡ π π + cos ⁡ ⁡ 0 ) = 4 π π R 2 . {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{\pi }R^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta =2\pi R^{2}(-\cos \pi +\cos 0)=4\pi R^{2}.}

Il mwxgvolume della sfera di raggio mwxw R {\displaystyle R} è dato dall'equazione (mwyaintegrale in mwyq d R {\displaystyle dR} della superficie):

mwza V = A R 3 = 4 π π R 3 3 . {\displaystyle V={\frac {AR}{3}}={\frac {4\pi R^{3}}{3}}.}

La dimostrazione di questa formula può essere ottenuta in modo immediato usando il mwzgmetodo degli indivisibili oppure con gli strumenti nell'mwzwanalisi matematica.

Si pensi di sommare tutte le aree dei cerchi che si ottengono sezionando la sfera con dei piani orizzontali. Il raggio di questi cerchi varierà con una funzione mwag f ( l ) {\displaystyle f(l)} della distanza del piano orizzontale dal centro della sfera e dato che l'area di un cerchio equivale a mwaw π π {\displaystyle \pi } per il raggio al quadrato:

mwbg V = ∫ ∫ − − R + R π π f 2 ( l ) d l , {\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi f^{2}(l)\,dl,}

dove mwca l {\displaystyle l} appunto è la distanza del piano dal centro della sfera.

Raggio alla distanza mwcg x {\displaystyle x}

mwdq s = r 2 − − x 2 . {\displaystyle s={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.}

Dunque, dal mwdwteorema di Pitagora, mwea f ( l ) {\displaystyle f(l)} vale:

mwew f ( l ) = R 2 − − l 2 {\displaystyle f(l)={\sqrt {R^{2}-l^{2}}}}

che, sostituita nell'equazione del volume, si trova:

mwfw V = ∫ ∫ − − R + R π π ( R 2 − − l 2 ) d l = π π ∫ ∫ − − R + R R 2 d l − − π π ∫ ∫ − − R + R l 2 d l = 2 π π R 3 − − 2 3 π π R 3 = 4 3 π π R 3 . {\displaystyle V=\int _{-R}^{+R}\pi (R^{2}-l^{2})\,dl=\pi \int _{-R}^{+R}R^{2}\,dl-\pi \int _{-R}^{+R}l^{2}\,dl=2\pi R^{3}-{\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.}

Allo stesso modo si può calcolare il volume mwgq V K S {\displaystyle V_{\mathrm {KS} }} di un segmento di sfera di altezza mwgg h {\displaystyle h}

mwhq V K S = ∫ ∫ r − − h r A x d x = r 2 π π [ x ] r − − h r − − 1 3 π π [ x 3 ] r − − h r {\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\int _{r-h}^{r}{A_{x}dx}=r^{2}\pi \left[x\right]_{r-h}^{r}-{1 \over 3}\pi \left[{x^{3}}\right]_{r-h}^{r}}

mwhw V K S = r 2 π π [ r − − ( r − − h ) ] − − 1 3 π π [ r 3 − − ( r − − h ) 3 ] = π π r 2 h − − 1 3 π π [ r 3 − − ( r 3 − − 3 r 2 h + 3 r h 2 − − h 3 ) ] {\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=r^{2}\pi \left[r-(r-h)\right]-{1 \over 3}\pi \left[r^{3}-(r-h)^{3}\right]=\pi r^{2}h-{\frac {1}{3}}\pi \left[r^{3}-(r^{3}-3r^{2}h+3rh^{2}-h^{3})\right]}

mwiq V K S = π π r 2 h − − π π r 2 h + π π r h 2 − − 1 3 π π h 3 = π π h 2 3 ( 3 r − − h ) . {\displaystyle V_{\mathrm {KS} }=\pi r^{2}h-\pi r^{2}h+\pi rh^{2}-{1 \over 3}\pi h^{3}={\pi h^{2} \over 3}(3r-h).}

La sfera può anche essere intesa come l'insieme di numerose mwjapiramidi mwjqinfinitesime, tutte con il vertice nel centro della sfera e con i mwjgpoligoni di base delle piramidi che poggiano sulla superficie della sfera: queste infinite piramidi elementari riempiranno tutto e solo il volume della sfera. Il volume di ogni piramide è:

mwkq area di base ⋅ ⋅ altezza 3 {\displaystyle {\frac {{\mbox{area di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{3}}}

mentre il volume complessivo è uguale a

mwlq area della sfera ⋅ ⋅ raggio della sfera 3 {\displaystyle {\frac {{\mbox{area della sfera}}\cdot {\mbox{raggio della sfera}}}{3}}}

dal quale si desume il significato della formula per il volume della sfera.

La sfera è la figura tridimensionale con il minimo rapporto superficie/volume: ciò spiega perché a tale forma tendono molti oggetti fisici, dalle gocce di liquido ai corpi celesti. Ad esempio, le bolle sono sferiche perché la mwmqtensione superficiale tende a minimizzare l'area a parità di volume.

Il mwmwcilindro circoscritto ha un volume che è mwna 3 / 2 {\displaystyle 3/2} quello della sfera, ed una superficie laterale che è la stessa di quella della sfera. Questo fatto, e le formule scritte sopra, erano già noti ad mwnqArchimede.

Con l'aumentare del raggio, il volume della sfera cresce più della superficie. Infatti il rapporto fra queste due quantità è mwnw R / 3 {\displaystyle R/3} .

Una sfera può anche essere definita come formata da un mwoqsemicerchio che ruota intorno al suo mwogdiametro. Se si usa una mwowellisse, si ottiene un mwpaellissoide di rotazione.

Due punti della superficie sferica che stanno sulla stessa retta passante per l'origine sono detti mwpwantipodali, e una tale retta è detta mwqaasse, poiché è un mwqqasse di simmetria della sfera.

Un mwqwcerchio massimo è una circonferenza avente lo stesso centro della sfera, ottenuta quindi intersecando la superficie sferica con un piano passante per l'origine.

Se un punto della superficie sferica è identificato come mwrqpolo nord, il suo antipodale è il mwrgpolo sud e l'mwrwequatore è il cerchio massimo equidistante dai due poli. I cerchi massimi passanti per i poli sono i mwsameridiani, mentre la linea retta passante per l'origine ed i due poli è l'mwsqasse. Questa terminologia è usata anche per i corpi celesti come la mwsgTerra, anche se non perfettamente sferici.

La sfera può essere generalizzata in altre mwtgdimensioni. Per ogni mwtwnumero naturale mwua n {\displaystyle n} , una mwuqsfera mwug n {\displaystyle n} -dimensionale è l'insieme dei punti nello mwuwspazio euclideo mwva ( n + 1 ) {\displaystyle (n+1)} -dimensionale mwvq R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} che hanno una distanza fissata mwvg r > 0 {\displaystyle r>0} da un certo punto dello spazio.

Ad esempio:

• una sfera 0-dimensionale è fatta di una coppia di punti mwwg { − − r , r } {\displaystyle \{-r,r\}} in mwww R {\displaystyle \mathbb {R} } ;

• una sfera 1-dimensionale è una mwxqcirconferenza di raggio mwxg r {\displaystyle r} nel mwxwpiano;

• una sfera 2-dimensionale è la superficie sferica ordinaria;

• una sfera 3-dimensionale è una sfera nello spazio euclideo 4-dimensionale (intesa come un'ipersuperficie 3-dimensionale ipersferica).

Le sfere di dimensione > 2 sono chiamate anche mwywipersfere. La sfera mwza n {\displaystyle n} -dimensionale di raggio unitario, centrata nell'origine, viene indicata con mwzq S n {\displaystyle S^{n}} .

Più in generale, in uno mw0aspazio metrico mw0q ( E , d ) {\displaystyle (E,d)} , la sfera di centro mw0g x {\displaystyle x} e raggio mw0w r > 0 {\displaystyle r>0} è l'insieme

mw1g S ( x ; r ) = { y ∈ ∈ E | d ( x , y ) = r } . {\displaystyle S(x;r)=\{y\in E|d(x,y)=r\}.}

Una sfera in uno spazio metrico può essere un oggetto molto diverso dalla sfera usuale. Ad esempio, può essere vuota: se consideriamo mw2a Z n {\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}} con la metrica euclidea, una sfera di raggio mw2q r {\displaystyle r} è vuota se e solo se mw2g r 2 {\displaystyle r^{2}} non può essere scritto come somma di mw2w n {\displaystyle n} quadrati.

| Formule della Sfera | Formule della Sfera |

|---|---|

| Circonferenza | U = 2 π r = d A P F d r {\displaystyle U\,=\,2\pi r{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} A_{\mathrm {PF} }}{\mathrm {d} r}}}} |

| Superficie | A O = 4 π r 2 = d V d r {\displaystyle A_{O}\,=\,4\pi r^{2}\,{\color {OliveGreen}\ ={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}}} |

| Volume | V = 4 3 π r 3 = ∫ 0 r A O d r {\displaystyle V\,=\,{\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A_{O}\mathrm {d} r} |

| Area di un cerchio massimo | A P F = π r 2 = ∫ 0 r U d r {\displaystyle A_{\mathrm {PF} }\,=\,\pi r^{2}=\int _{0}^{r}U\mathrm {d} r} |

| Volume di un segmento di sfera | V K S = h 2 π 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V_{\mathrm {KS} }\,=\,{\frac {h^{2}\pi }{3}}(3r-h)} |

| Area di una calotta sferica | A K K = 2 r h π = 2 r 2 π ( 1 − cos ⁡ α 2 ) {\displaystyle A_{\mathrm {KK} }\,=\,2rh\pi =2r^{2}\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)} |

| Momento d'inerzia | J = 2 5 m r 2 {\displaystyle J\,=\,{\frac {2}{5}}mr^{2}} |

Dove con mwaqq r {\displaystyle r} si intende il raggio della sfera, con mwaqu h {\displaystyle h} l'altezza del segmento di sfera o della calotta sferica, con mwaqy α α {\displaystyle \alpha } l'ampiezza in mwaqcsteradianti della calotta.

Per quanto si sia avvicinato, l'uomo non è ancora riuscito a produrre alcun oggetto dalla sfericità matematicamente perfetta. Finora il miglior risultato è stato raggiunto dall'mwaraAustralian Centre for Precision Optics, di Lindfield (mwarmAustralia). La sfera è stata ottenuta attraverso una levigazione ad altissima precisione di una barra di silicio 28 (un mwarqisotopo del mwarusilicio) ed è frutto del mwaryProgetto Avogadro, che si propone di arrivare alla definizione del mwarcchilogrammo perfetto, basata sulla conoscenza dell'esatto numero di mwargatomi che compongono tale sfera.cite-ref-1[1] Il suo diametro è di 9,36 mwar0centimetri e come uniche imperfezioni presenta una mwar4rugosità di 0,3 mwar8nanometri e piccole deviazioni di sfericità di circa 60-70 nanometri. In precedenza, il miglior risultato era stato ottenuto dalla mwasaNASA, che per la mwasesonda mwasiGravity Probe B, costruita per degli studi mwasmgravitazionali in mwasqorbita, ha creato dei mwasugiroscopi con deviazioni inferiori ai 100 nanometri.

mwasgParmenide paragona l'mwaskEssere a una sfera perfetta, sempre uguale a se stessa nello spazio e nel tempo, chiusa e finita (per gli mwasoantichi greci il finito era sinonimo di perfezione). La sfera è infatti l'unico solido mwassgeometrico che non ha differenze al suo interno, ed è uguale dovunque la si guardi; l'ipotesi collima suggestivamente con la mwaswteoria della relatività di mwas0Albert Einstein che nel mwas41900 dirà:cite-ref-2[2] «Se prendessimo un mwatmbinocolo e lo puntassimo nello spazio, vedremmo una linea curva chiusa all'infinito» in tutte le direzioni dello spazio, ovvero, complessivamente, una sfera (per lo scienziato infatti l'mwatquniverso è finito sebbene illimitato, fatto di uno spazio tondo ripiegato su se stesso).cite-ref-3[3]

cite-note-11. ↑ mwat8mwauamwaueAlla ricerca del chilo perfetto, su mwauicorriere.it.

cite-note-22. ↑ mwauyAlbert Einstein si espresse tra l'altro in maniera sorprendentemente simile a Parmenide, in quanto anch'egli tendeva a negare la discontinuità del mwaucdivenire e il suo svolgimento nel mwaugtempo. Secondo Popper, «grandi scienziati come Boltzmann, Minkowski, Weyl, Schrödinger, Gödel e, soprattutto, Einstein hanno concepito le cose in modo similare a Parmenide e si sono espressi in termini singolarmente simili» (tratto da mwaukKarl Popper, mwauomwausThe World of Parmenides, Routledge, 1998, mwauwISBNmwau0 9780415237307., trad. it., 1998).

cite-note-33. ↑ «La materia, secondo Einstein, si curverebbe su se stessa, per cui l'universo sarebbe illimitato ma finito, simile ad una sfera, che è illimitatamente percorribile anche se finita. Inoltre Einstein ritiene che non abbia senso chiedersi che cosa esista fuori dell'universo» (Ernesto Riva, mwaviManuale di filosofia, pag. 132, 2007, ISBN 978-1-4092-0059-8).

• mwavcCirconferenza

• mwavkGeometria sferica

• mwavsTrigonometria sferica

• mwav0Pentagramma miracoloso

• mwav8Ipersfera

• mwawePseudosfera

• mwawmPalla (matematica)

• mwawuSfera unitaria

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• citereftreccani-itSfera, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaAttilio Frajese, SFERA, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1936.

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• citerefsapere-itsfèra, su sapere.it, De Agostini.

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• citerefspringereom(EN) Sphere, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.